|
Вы наверное часто видели довольно хитроумные картины, на которых непонятно
что изображено, но все равно необычность их форм завораживает и приковывает
внимание. Как правило, это хитроумные формы не поддающиеся казалось бы
какому-либо математическому описанию. Вы к примеру видели узоры на стекле после
мороза или к примеру хитроумные кляксы, оставленные на листе чернильной ручкой,
так вот что-то подобное вполне можно записать в виде некоторого алгоритма, а
следовательно доступно объясниться с компьютером. Подобные множества называют
фрактальными. Вобще, как мне известно фракталы появились не так уж давно, но
сразу завоевали свою важную нишу. Фракталы не похожи на привычные нам фигуры,
известные из геометрии, и строятся они по определенным алгоритмам, а эти
алгоритмы с помощью компьютера можно изобразить на экране. Вобще, если все
слегка упростить, то фракталы - это некое преобразование многократно примененное
к исходной фигуре.
Здесь хочу остановиться на фрактальных множествах Мандельброта и Жюлиа.
Изображения этих множеств не имеют каких либо четко очерченных границ.
Особенностью фракталов является то, что даже маленькая часть изображения в
конечном итоге представлет общее целое, особенно хорошо этот эффект можно
пронаблюдать на примере множества Жюлиа. Кстати на основе этого свойства
фракталов основано фрактальное сжатие данных, но эту тему разберем как-нибудь
позже (когда накопиться достаточно нужного материала).
Итак приступим к самому главному, ради чего мы здесь и собрались. Как же
строятся эти удивителные множества ?
Все сводится к вычислению одной единственной формулы.
Zi+1=Zi2+C
Здесь Z и C - комплексные числа. Как видно, формулы по сути представляет
собой обычную рекурсию (или что-то вроде многократно примененного
преобразования). Зная правила работы с комплексными числами данную формулу можно
упростить и привести к следующему виду.
xi+1=xi2-yi2+a
yi+1=2*xi*yi+b
Построение множества Мандельброта сводится к следующему. Для каждой точки (a,b)
проводится серия вычислений по вышеприведенным формулам, причем x0 и y0
принимаются равными нулю, т.е. точка в формуле выступает в качестве константы.
На каждом шаге вычиляется величина r=sqrt(x2+y2 ). Значением r ,как ни трудно
заметить, является расстояние точки с координатами (x,y) от начала координат (
r=sqrt[ (x-0)2+(y-0)2] ). Исходная точка (a,b) считается принадлежащей множеству
Мандельброта, если она никогда не удаляется от начала координат на какое-то
критическое число. Для отображения можно подсчитать скорость удаления от центра,
если например точка ушла за критическое расстояние, и в зависимости от нее
окрасить исходную точку в соответствующие цвет. Полное изображение множества
Мандельброта можно получить на плоскости от -2 до 1 по оси x и от -1.5 до 1.5 по
оси y. Также известно, что для получения примелимой точности достаточно 100
итеарций (по теории их должно быть бесконечно много). Ниже представлен листинг
функции реализующей выполнение итераций и определение принадлежности точки
множеству Мандельброта, точнее на выходе мы получаем цвет для соответствующе
точки. В качестве критического числа взято число 2. Чтобы не вычислять корень,
мы сравниваем квадрат расстояния (r2) с квадратом критического числа, т.е.
сравниваем (x2+y2) и 4.
function MandelBrot(a,b: real): TColor;
var
x,y,xy: real;
x2,y2: real;
r:real;
k: integer;
begin
r:=0;
x:=0; y:=0;
k:=100;
while (k>0)and(r<4) do
begin
x2:=x*x;
y2:=y*y;
xy:=x*y;
x:=x2-y2+a;
y:=2*xy+b;
r:=x2+y2;
dec(k)
end;
k:=round((k/100)*255);
result:=RGB(k,k,k);
end;
Множество Жюлиа получается если зафиксировать в формуле значение комплексной
константы (a+ib), которая будет одинакова для всех точек, а начальные значения
x0 и y0 принимать равными значениям координатам вычисляемой точки. Листинг для
множества Жюлиа приведен ниже.
function Julia(x0,y0: real): TColor;
var
a,b,x,y,x2,y2,xy: real;
r:real;
speed,k: integer;
begin
r:=1;
a:=-0.55; b:=-0.55;
x:=x0; y:=y0;
k:=100;
while (k>0)and(r<4) do
begin
x2:=x*x;
y2:=y*y;
xy:=x*y;
x:=x2-y2+a;
y:=2*xy+b;
r:=x2+y2;
dec(k)
end;
k:=round((k/100)*255);
result:=RGB(k,k,k);
end;
Ниже приведен листинг функции отображающий данные множества.
procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);
var
x_min,y_min,x_max,y_max,hx,hy,x,y: real;
i,j,n: integer;
color: TColor;
begin
x_min:=-1.5; x_max:=2;
y_min:=-1.5; y_max:=1.5;
n:=300;
y:=y_min;
hx:=(x_max-x_min)/n;
hy:=(y_max-y_min)/n;
for j:=0 to n do
begin
x:=x_min;
for i:=0 to n do
begin
if rbM.Checked then color:=MandelBrot(x,y);
if rbJ.Checked then color:=Julia(x,y);
imPict.Picture.Bitmap.Canvas.Pixels[i,j]:=color;
x:=x+hx;
end;
y:=y+hy;
end;
end;
При рассмотрении темы большую помощь оказала статья А.Колесникова
"Визуализация фрактальных структур" в "Компьтерных вестях".
| 
